Скрыть объявление
Гость отличная новость! Мы открыли доступ к ранее скрытому контенту.

Вам доступно более 44 000 видео уроков, книг и программ без VIP статуса. Более подробно ЗДЕСЬ.

навье тело

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.
В случае несжимаемой жидкости система состоит из двух уравнений:
уравнения движения,
уравнения неразрывности.
В гидродинамике обычно уравнением Навье — Стокса называют только одно векторное уравнение движения. Впервые уравнение Навье — Стокса было получено Навье (1822, несжимаемая жидкость) и Пуассоном (1829, сжимаемая жидкость), которые исходили из модельных представлений о молекулярных силах. Позже феноменологический вывод уравнения был дан Сен-Венаном и Стоксом.
В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:











v







t



=

(



v






)



v




+
ν
Δ



v







1
ρ



p
+



f




,


{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+\nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {f}},}

где






{\displaystyle \nabla }
— оператор набла,



Δ


{\displaystyle \Delta }
— векторный оператор Лапласа,



t


{\displaystyle t}
— время,



ν


{\displaystyle \nu }
— коэффициент кинематической вязкости,



ρ


{\displaystyle \rho }
— плотность,



p


{\displaystyle p}
— давление,






v




=
(

v

1


,


,


v

n


)


{\displaystyle {\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})}
— векторное поле скоростей,






f






{\displaystyle {\vec {f}}}
— векторное поле массовых сил. Неизвестные



p


{\displaystyle p}
и






v






{\displaystyle {\vec {v}}}
являются функциями времени



t


{\displaystyle t}
и координаты



x

Ω


{\displaystyle x\in \Omega }
, где



Ω



R


n




{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
,



n
=
2
,

3


{\displaystyle n=2,\;3}
— плоская или трёхмерная область, в которой движется жидкость.
Уравнения Навье — Стокса следует дополнить уравнением неразрывности:









v




=
0.


{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}=0.}

Обычно в систему уравнений Навье — Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:







v






|



Ω


=
0
,


{\displaystyle {\vec {v}}|_{\partial \Omega }=0,}








v






|


t
=
0


=




v





0


.


{\displaystyle {\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.}

Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.
При учёте сжимаемости уравнения Навье — Стокса принимают следующий вид:




ρ

(





v

i





t



+

v

k







v

i






x

k





)

=





p




x

i





+






x

k






{
η

(





v

i






x

k





+





v

k






x

i








2
3



δ

i
k







v

l






x

l





)

}

+






x

k






(
ζ





v

l






x

l






δ

i
k


)

,


{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left\{\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right\}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\zeta {\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\delta _{ik}\right),}
,
где



η


{\displaystyle \eta }
— коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость),



ζ


{\displaystyle \zeta }
— «вторая вязкость», или объёмная вязкость,




δ

i
k




{\displaystyle \delta _{ik}}
— дельта Кронекера. Это уравнение при условии постоянства вязкостей



η


{\displaystyle \eta }
и



ζ


{\displaystyle \zeta }
сводится к векторному уравнению:




ρ

(







v







t



+
(



v






)



v




)

=


p
+
η
Δ



v




+

(
ζ
+


η
3


)



div





v






{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v}}+\left(\zeta +{\frac {\eta }{3}}\right)\nabla {\text{div}}\,{\vec {v}}}
.
Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости примет вид:








ρ



t



+


(
ρ



v




)
=
0.


{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {v}})=0.}

Узнать больше на Wikipedia.org